微分積分例

\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 1

\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ を関数で書きます。

f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 2

関数

F (x)

$F (x)$ は、微分係数

f (x)

$f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 4

u = 1 + x^{2}

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ すると、

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ です。

u

$u$ と

d

$d$

u

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

u = 1 + x^{2}

$u = 1 + x^{2}$ とします。

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

1 + x^{2}

$1 + x^{2}$ を微分します。

\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.1.2

総和則では、

1 + x^{2}

$1 + x^{2}$ の

x

$x$ に関する積分は

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.3

1

$1$ は

x

$x$ について定数なので、

x

$x$ について

1

$1$ の微分係数は

0

$0$ です。

0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.4

n = 2

$n = 2$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

0 + 2 x

$0 + 2 x$

ステップ 4.1.5

0

$0$ と

2 x

$2 x$ をたし算します。

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

ステップ 4.2

u

$u$ と

d u

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

\frac{1}{\sqrt{u}}

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ をかけます。

\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 5.2

2

$2$ を

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ の左に移動させます。

\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 6

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ は

u

$u$ に対して定数なので、

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ を

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 7.2

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ を

- 1

$- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 7.3

{(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 7.3.2

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

- 1

$- 1$ をまとめます。

\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 7.3.3

分数の前に負数を移動させます。

\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、

u^{- \frac{1}{2}}

$u^{- \frac{1}{2}}$ の

u

$u$ に関する積分は

2 u^{\frac{1}{2}}

$2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を

\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.2

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.2.2

式を書き換えます。

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.3

$u^{\frac{1}{2}}$ に

$1$ をかけます。

$u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を

$1 + x^{2}$ で置き換えます。

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11

答えは関数

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ の不定積分です。

$F (x) =$

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例