微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sqrt{3 + 4 x^{2}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{1}$

ステップ 1.1.2

$4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{1}$

ステップ 1.2

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 1.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 1.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{1}$

ステップ 3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

ステップ 3.3.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\sqrt{0 + 4}$

ステップ 3.3.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{4}$

ステップ 3.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2$

微分積分 例

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