微分積分例

$\ln (x^{2} + 1)$

ステップ 1

$\ln (x^{2} + 1)$ を関数で書きます。

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \ln (x^{2} + 1) d x$

ステップ 4

$u = \ln (x^{2} + 1)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x^{2} + 1) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$x$ と $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x^{2} + 1) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 8

$x^{2}$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 8.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 8.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 8.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

ステップ 8.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 0 + 1$ の符号をすべて変更します。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

ステップ 8.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

ステップ 8.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

ステップ 12.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 13

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

ステップ 14

簡約します。

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$

微分積分 例

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