微分積分例

$4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

ステップ 1

$4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 6

$u_{1} = - 2 x$ とします。次に $d u_{1} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{1} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 6.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 7.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 9

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 11.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 11.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 11.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 11.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 12

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

ステップ 13

$u_{2} = x - 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 13.1

$u_{2} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 13.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 13.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 13.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 13.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 13.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 13.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

ステップ 14

べき乗則では、 ${u_{2}}^{3}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ です。

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 15

簡約します。

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

ステップ 17

答えは関数 $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

微分積分 例

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