微分積分例

$y = (5 x^{2} - 3) (7 x^{3} + x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 5 x^{2} - 3$ および $g (x) = 7 x^{3} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $7 x^{3} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

ステップ 1.2.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{3}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$(5 x^{2} - 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

ステップ 1.2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 3) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

ステップ 1.2.4

$3$ に $7$ をかけます。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

ステップ 1.2.6

総和則では、 $5 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.2.7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.2.9

$2$ に $5$ をかけます。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.2.10

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + 0)$

ステップ 1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x)$

ステップ 1.2.11.2

$10$ を $7 x^{3} + x$ の左に移動させます。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (10 (7 x^{3}) + 10 x) x$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.5

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$21$ に $5$ をかけます。

$105 x^{2} x^{2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$105 (x^{2} x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$105 x^{2 + 2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.3

$21$ に $- 3$ をかけます。

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.4

$5$ に $1$ をかけます。

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.6

$- 63 x^{2}$ と $5 x^{2}$ をたし算します。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.7

$7$ に $10$ をかけます。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{3} x + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.8

$x$ を $1$ 乗します。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 (x^{1} x^{3}) + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.10

$1$ と $3$ をたし算します。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x \cdot x$

ステップ 1.3.6.11

$x$ を $1$ 乗します。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x)$

ステップ 1.3.6.12

$x$ を $1$ 乗します。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1})$

ステップ 1.3.6.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

ステップ 1.3.6.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{2}$

ステップ 1.3.6.15

$105 x^{4}$ と $70 x^{4}$ をたし算します。

$175 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 x^{2}$

ステップ 1.3.6.16

$- 58 x^{2}$ と $10 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$175$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $175 x^{4}$ の微分係数は $175 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$175 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$175 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $175$ をかけます。

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$700 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$700 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$700 x^{3} - 96 x + 0$

ステップ 2.4.2

$700 x^{3} - 96 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$

微分積分 例

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