微分積分例

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

ステップ 1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 2

$u = 2 x + 9$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 x + 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 x + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $2 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2

$u = 2 x + 9$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2$ に $- 5$ をかけます。

$u_{lower} = - 10 + 9$

ステップ 2.3.2

$- 10$ と $9$ をたし算します。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 2.4

$u = 2 x + 9$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2$ に $9$ をかけます。

$u_{upper} = 18 + 9$

ステップ 2.5.2

$18$ と $9$ をたし算します。

$u_{upper} = 27$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

ステップ 3

$u^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$27$ および $- 1$ で $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.4

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.5

$\frac{3}{4}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.6

$3$ に $81$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.7

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

ステップ 7.2.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

ステップ 7.2.9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

ステップ 7.2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

ステップ 7.2.10

$- 1$ を $4$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

ステップ 7.2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

ステップ 7.2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

ステップ 7.2.13

$243$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

ステップ 7.2.14

$240$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.14.1

$4$ を $240$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

ステップ 7.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.14.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

ステップ 7.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

ステップ 7.2.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

ステップ 7.2.14.2.4

$60$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot 60$

ステップ 7.2.15

$\frac{1}{3}$ と $60$ をまとめます。

$\frac{60}{3}$

ステップ 7.2.16

$60$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.16.1

$3$ を $60$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

ステップ 7.2.16.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.16.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

ステップ 7.2.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

ステップ 7.2.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{20}{1}$

ステップ 7.2.16.2.4

$20$ を $1$ で割ります。

$20$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例