微分積分例

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

ステップ 1

$f (x) = arcsec (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $arcsec (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

ステップ 3

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

ステップ 4.2

$\sin^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

ステップ 4.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

ステップ 4.4

$- 1$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

ステップ 4.6

$- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ を $- (1 - \sin^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

ステップ 4.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

ステップ 4.8

分母を簡約します。

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ステップ 4.8.1

$- 1$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

ステップ 4.8.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

ステップ 4.8.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

ステップ 4.9

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

ステップ 4.9.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{i \sin (x)}$

ステップ 4.10

分数を分解します。

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 4.11

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{1}{i} \csc (x)$

ステップ 4.12

$\frac{1}{i}$ の分子と分母に $i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

ステップ 4.13

掛け算します。

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ステップ 4.13.1

まとめる。

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

ステップ 4.13.2

$i$ に $1$ をかけます。

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

ステップ 4.13.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.13.3.1

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

ステップ 4.13.3.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

ステップ 4.13.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

ステップ 4.13.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

ステップ 4.13.3.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

ステップ 4.14

$\frac{i}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot i \csc (x)$

ステップ 4.15

$- 1 \cdot i$ を $- i$ に書き換えます。

$- i \csc (x)$

微分積分 例

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