微分積分例

$y = 12 \sin (w t + π)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$12$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $12 \sin (w t + π)$ の微分係数は $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ です。

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

ステップ 1.2

$f (w) = \sin (w)$ および $g (w) = w t + π$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $w t + π$ とします。

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $w t + π$ で置き換えます。

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $w t + π$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ です。

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

ステップ 1.3.2

$t$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $w t$ の微分係数は $t \frac{d}{d w} [w]$ です。

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

ステップ 1.3.4

$t$ に $1$ をかけます。

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

ステップ 1.3.5

$π$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

ステップ 1.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$t$ と $0$ をたし算します。

$12 \cos (w t + π) t$

ステップ 1.3.6.2

$12 \cos (w t + π) t$ の因数を並べ替えます。

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$12 t$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $12 t \cos (w t + π)$ の微分係数は $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ です。

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

ステップ 2.2

$f (w) = \cos (w)$ および $g (w) = w t + π$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $w t + π$ とします。

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $w t + π$ で置き換えます。

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ に $12$ をかけます。

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $w t + π$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ です。

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 2.3.3

$t$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $w t$ の微分係数は $t \frac{d}{d w} [w]$ です。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 2.3.5

$t$ に $1$ をかけます。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 2.3.6

$π$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

ステップ 2.3.7

$t$ と $0$ をたし算します。

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

ステップ 2.4

$t$ を $1$ 乗します。

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

ステップ 2.5

$t$ を $1$ 乗します。

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- 12 t^{2}$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ の微分係数は $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ です。

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

ステップ 3.2

$f (w) = \sin (w)$ および $g (w) = w t + π$ のとき、 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ は $f' (g (w)) g' (w)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $w t + π$ とします。

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $w t + π$ で置き換えます。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $w t + π$ の $w$ に関する積分は $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ です。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 3.3.2

$t$ は $w$ に対して定数なので、 $w$ に対する $w t$ の微分係数は $t \frac{d}{d w} [w]$ です。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ は $n w^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 3.3.4

$t$ に $1$ をかけます。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

ステップ 3.3.5

$π$ は $w$ について定数なので、 $w$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

ステップ 3.3.6

$t$ と $0$ をたし算します。

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

ステップ 3.4

$t$ を $1$ 乗します。

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

ステップ 3.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$

微分積分 例

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