微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2022$ を $\cos^{2022} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.1.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos^{2022} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

ステップ 1.1.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 1.1.3.4.2

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \cos^{2022} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{2022} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.2

$f (x) = x^{2022}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2022}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.2.2

$n = 2022$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 u^{2021} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) (- \sin (x)))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.4

$- 1$ に $2022$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.4.5

$- 2022$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

ステップ 1.3.6

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

ステップ 1.3.9

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 2

$2022$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2021$ を $\cos^{2021} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$2022 \frac{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2021} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2022 \frac{1^{2021} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2022 \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.6.3

$\sin (0)$ に $1$ をかけます。

$2022 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.2.6.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 3.1.3.4

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3.1.3.5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

ステップ 3.1.3.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2022 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

ステップ 3.1.3.6.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$2022 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

ステップ 3.1.3.6.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2022 \frac{0}{0 + 0}$

ステップ 3.1.3.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$2022 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2022 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2022 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2022 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \cos^{2021} (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.4

指数を足して $\cos^{2021} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$\cos^{2021} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{2021 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.4.2

$2021$ と $1$ をたし算します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.5

$f (x) = x^{2021}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [u^{2021}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.5.2

$n = 2021$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 u^{2020} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.5.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.6

$2021$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \cdot \sin (x) \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ に $2021$ をかけます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{2} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.13

項を並べ替えます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

ステップ 3.3.14

総和則では、 $x \cos (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.15

$\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.15.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.15.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.15.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.15.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.3.16

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

ステップ 3.3.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.17.1

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 3.3.17.2

項を並べ替えます。

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2022 \frac{lim_{x \to 0} - 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2022 \frac{- lim_{x \to 0} 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.3

$2021$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.5

極限べき乗則を利用して、指数 $2020$ を $\cos^{2020} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2020} \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sin^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.8

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.9

極限べき乗則を利用して、指数 $2022$ を $\cos^{2022} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.10

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

ステップ 4.11

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

ステップ 4.12

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

ステップ 4.13

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

ステップ 4.14

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.15

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1^{2020} \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.3

$- 2021$ に $1$ をかけます。

$2022 \frac{- 2021 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0^{2} + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.6

$- 2021$ に $0$ をかけます。

$2022 \frac{0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2022 \frac{0 + 1^{2022}}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$2022 \frac{0 + 1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.1.9

$0$ と $1$ をたし算します。

$2022 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2022 \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

ステップ 6.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2022 \frac{1}{0 + 2}$

ステップ 6.2.5

$0$ と $2$ をたし算します。

$2022 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $2022$ で因数分解します。

$2 (1011) \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 1011 \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.3

式を書き換えます。

$1011$

微分積分 例

微分積分例