微分積分例

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.2

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.4

すべての $x$ に $π$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.5.1.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.5.1.4

$- 1$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.5.1.5

$- 1 π$ を $- π$ に書き換えます。

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.2.5.2

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

ステップ 1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $π$ に近づくと定数である $π^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

ステップ 1.3.3

$π^{2}$ から $π^{2}$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x + π \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π \sec (x)$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3.4.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$lim_{x \to π} \frac{1 + π (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3.4.3

括弧を削除します。

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3.5

項を並べ替えます。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x^{2} - π^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

ステップ 3.8

$- π^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

ステップ 3.9

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

ステップ 5

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 6

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 7

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 8

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 9

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 10

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 11

$x$ が $π$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 12

すべての $x$ に $π$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 12.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

ステップ 12.3

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

ステップ 13

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

ステップ 13.1.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

ステップ 13.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

ステップ 13.1.4

$- 1$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

ステップ 13.1.5

$- 1 π$ を $- π$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

ステップ 13.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

ステップ 13.1.7

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

ステップ 13.1.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

ステップ 13.1.9

$- π \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.9.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

ステップ 13.1.9.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

ステップ 13.1.10

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 13.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{π}$ をかけます。

$\frac{1}{2 π}$

微分積分 例

微分積分例