微分積分例

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

$3 t^{2}$ を $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$3 t^{2}$ を $3 x t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

ステップ 2.1.2

$3 t^{2}$ を $- 3 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

ステップ 2.1.3

$3 t^{2}$ を $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

ステップ 2.2

両辺に $\frac{1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

ステップ 2.3.2

$3$ と $\frac{1}{x - 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

ステップ 2.3.3

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

$x - 1$ を $t^{2} (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

ステップ 2.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

ステップ 2.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

ステップ 2.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

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ステップ 3.2.1

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.2.1.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.2.1.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.2.1.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2.1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

ステップ 3.3.2

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

ステップ 3.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.3

$t^{3}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

ステップ 4.2

対数の定義を利用して $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ として書き換えます。

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

ステップ 4.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

ステップ 4.3.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

$e^{t^{3} + C}$ を $e^{t^{3}} e^{C}$ に書き換えます。

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

ステップ 5.2

$e^{t^{3}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

ステップ 5.3

定数を正または負でまとめます。

$x = C e^{t^{3}} + 1$

微分積分 例

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