微分積分例

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ を引きます。

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

ステップ 2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

ステップ 2.4.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

ステップ 2.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

ステップ 2.4.4

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

ステップ 3

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$y$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a^{3} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ です。

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

ステップ 3.1.2.3

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$- 2 x^{2}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $- 2 x^{2} a^{2}$ の微分係数は $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ です。

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

ステップ 3.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

ステップ 3.1.4

$x^{4}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $x^{4}$ の微分係数は $0$ です。

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

ステップ 3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ と $0$ をたし算します。

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

ステップ 3.1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

ステップ 3.2

$a$ に関する $f (a)$ の一次導関数は $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ です。

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

ステップ 4

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

ステップ 4.2

$a$ を $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$a$ を $3 a^{2} y$ で因数分解します。

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

ステップ 4.2.2

$a$ を $- 4 x^{2} a$ で因数分解します。

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

ステップ 4.2.3

$a$ を $a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ で因数分解します。

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.4

$a$ が $0$ に等しいとします。

$a = 0$

ステップ 4.5

$3 a y - 4 x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$3 a y - 4 x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

ステップ 4.5.2

$a$ について $3 a y - 4 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

方程式の両辺に $4 x^{2}$ を足します。

$3 a y = 4 x^{2}$

ステップ 4.5.2.2

$3 a y = 4 x^{2}$ の各項を $3 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

$3 a y = 4 x^{2}$ の各項を $3 y$ で割ります。

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

ステップ 4.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

ステップ 4.5.2.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

ステップ 4.5.2.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

ステップ 4.5.2.2.2.2.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

ステップ 4.6

最終解は $a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

ステップ 5

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 6

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $a$ における $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$a = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$0$ を $a$ に代入します。

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.1.2.1.2

$0$ に $y$ をかけます。

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

ステップ 6.1.2.1.4

$- 2 x^{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.4.1

$0$ に $- 2$ をかけます。

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

ステップ 6.1.2.1.4.2

$0$ に $x^{2}$ をかけます。

$0 + 0 + x^{4}$

ステップ 6.1.2.2

$0 + 0 + x^{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + x^{4}$

ステップ 6.1.2.2.2

$0$ と $x^{4}$ をたし算します。

$x^{4}$

ステップ 6.2

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{4 x^{2}}{3 y}$ を $a$ に代入します。

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

積の法則を $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ に当てはめます。

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.1.2

積の法則を $4 x^{2}$ に当てはめます。

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.1.3

積の法則を $3 y$ に当てはめます。

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.2.2

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.2.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.4.1

$y$ を $27 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.5.1

積の法則を $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ に当てはめます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.5.2

積の法則を $4 x^{2}$ に当てはめます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.5.3

積の法則を $3 y$ に当てはめます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.6.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.6.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.6.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.8

$- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.8.1

$- 2$ と $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.8.2

$16$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.8.3

$x^{2}$ と $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.8.4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.8.4.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.8.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.8.4.3

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.9

$- 32$ を $x^{6}$ の左に移動させます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.2

$- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27 y^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

$\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.3.2

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1.1

$32 x^{6}$ を $64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.5.1.1.1

$32 x^{6}$ を $64 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.5.1.1.2

$32 x^{6}$ を $- 32 x^{6} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.5.1.1.3

$32 x^{6}$ を $32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.5.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.5.1.3

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.5.1.4

$- 1$ に $32$ をかけます。

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.2.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

ステップ 6.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例