微分積分例

$\int x^{2} (5^{x^{3}} - 3^{2 x^{3}}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{3}$ とします。次に $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{3}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}}) \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 2

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int 5^{u_{1}} - 3^{2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} (\int 5^{u_{1}} d u_{1} + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

ステップ 4

$5^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C + \int - 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{2 u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int 3^{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 7

$3^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \int \frac{3^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - (\frac{1}{2} \int 3^{u_{2}} d u_{2}))$

ステップ 9

$3^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} + C - \frac{1}{2} (\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)} + C))$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{u_{1}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{u_{2}}}{2 \ln (3)}) + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 u_{1}}}{2 \ln (3)}) + C$

ステップ 11.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{5^{x^{3}}}{\ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

ステップ 12.2

まとめる。

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} + \frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}) + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{3} (- \frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)})$ を掛けます。

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ステップ 12.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{3^{2 x^{3}}}{2 \ln (3)}$ をかけます。

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{3 (2 \ln (3))} + C$

ステップ 12.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 \cdot 5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

ステップ 12.4

$5^{x^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5^{x^{3}}}{3 \ln (5)} - \frac{3^{2 x^{3}}}{6 \ln (3)} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3 \ln (5)} \cdot 5^{x^{3}} - \frac{1}{6 \ln (3)} \cdot 3^{2 x^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例