微分積分例

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

ステップ 4.3

$d$ と $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

ステップ 4.4

$\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 4.5

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{1}$ を分母に移動させます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

ステップ 4.6

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

ステップ 4.6.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

ステップ 4.6.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

ステップ 4.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

ステップ 4.6.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

ステップ 4.6.5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5

$d$ は $x$ に対して定数なので、 $d$ を積分の外に移動させます。

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 6.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ を $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 8.2

$2$ を $d$ の左に移動させます。

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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