微分積分例

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- \frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{5} x^{6}$ の微分係数は $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.4

$- 6$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.5

$- 6$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.6

$\frac{- 12}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- \frac{12}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{12 x^{5}}{5}$ の微分係数は $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.4

$- 5$ と $\frac{12}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.5

$- 5$ に $12$ をかけます。

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.6

$\frac{- 60}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.7

$- 60$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.7.1

$5$ を $- 60 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.7.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.7.2.4

$- 12 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

ステップ 1.2.3.3

$3$ に $20$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ です。

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

ステップ 2.2.3

$12 u$ を $- 12 u^{2} + 60 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1

$12 u$ を $- 12 u^{2}$ で因数分解します。

$12 u (- u) + 60 u = 0$

ステップ 2.2.3.2

$12 u$ を $60 u$ で因数分解します。

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

ステップ 2.2.3.3

$12 u$ を $12 u (- u) + 12 u (5)$ で因数分解します。

$12 u (- u + 5) = 0$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$- x^{2} + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$- x^{2} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- x^{2} + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- x^{2} = - 5$

ステップ 2.5.2.2

$- x^{2} = - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$- x^{2} = - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 5$

ステップ 2.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{5}$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 2.6

最終解は $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$- \frac{2}{5} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$f (0) = 0 (\frac{2}{5}) + 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.2.2

$0$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.4

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$\sqrt{5}$ を $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{5}$ で置換えます。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${\sqrt{5}}^{6}$ を $5^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$- \frac{2}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$5$ を $5^{3}$ で因数分解します。

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 2$ に $25$ をかけます。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.5

${\sqrt{5}}^{4}$ を $5^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

ステップ 3.3.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

ステップ 3.3.2.1.5.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.5.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.3.2.1.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.5.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

ステップ 3.3.2.1.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

ステップ 3.3.2.1.5.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

ステップ 3.3.2.1.5.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

ステップ 3.3.2.1.6

指数を足して $5$ に $5^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.6.1

$5$ に $5^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.6.1.1

$5$ を $1$ 乗します。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

ステップ 3.3.2.1.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

ステップ 3.3.2.1.6.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

ステップ 3.3.2.1.7

$5$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 125$

ステップ 3.3.2.2

$- 50$ と $125$ をたし算します。

$f (\sqrt{5}) = 75$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $75$ です。

$75$

ステップ 3.4

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ で代入して $\sqrt{5}$ 求めた点は、 $(\sqrt{5}, 75)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\sqrt{5}, 75)$

ステップ 3.5

$- \sqrt{5}$ を $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{5}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{5}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{5}}^{6}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

${(- 1)}^{6}$ を移動させます。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.2

${(- 1)}^{6}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6 + 1} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.3

$6$ と $1$ をたし算します。

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{7} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.3

$- 1$ を $7$ 乗します。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4

${\sqrt{5}}^{6}$ を $5^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.4.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.5

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.5.1

$- \frac{2}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.5.2

$5$ を $5^{3}$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.5.4

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.6

$5$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.7

$- 2$ に $25$ をかけます。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.8

積の法則を $- \sqrt{5}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4})$

ステップ 3.5.2.1.9

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 (1 {\sqrt{5}}^{4})$

ステップ 3.5.2.1.10

${\sqrt{5}}^{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {\sqrt{5}}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.11

${\sqrt{5}}^{4}$ を $5^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

ステップ 3.5.2.1.11.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.11.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5.2.1.11.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.11.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

ステップ 3.5.2.1.11.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

ステップ 3.5.2.1.11.4.2.3

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

ステップ 3.5.2.1.11.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

ステップ 3.5.2.1.12

指数を足して $5$ に $5^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.12.1

$5$ に $5^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.12.1.1

$5$ を $1$ 乗します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

ステップ 3.5.2.1.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

ステップ 3.5.2.1.12.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

ステップ 3.5.2.1.13

$5$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 125$

ステップ 3.5.2.2

$- 50$ と $125$ をたし算します。

$f (- \sqrt{5}) = 75$

ステップ 3.5.2.3

最終的な答えは $75$ です。

$75$

ステップ 3.6

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ で代入して $- \sqrt{5}$ 求めた点は、 $(- \sqrt{5}, 75)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \sqrt{5}, 75)$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (\sqrt{5}, 75), (- \sqrt{5}, 75)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \sqrt{5})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.33606797$ で置換えます。

$f'' (- 2.33606797) = - 12 {(- 2.33606797)}^{4} + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2.33606797$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$- 12$ に $29.78118022$ をかけます。

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

ステップ 5.2.1.4

$60$ に $5.45721359$ をかけます。

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

ステップ 5.2.2

$- 357.37416272$ と $327.43281572$ をたし算します。

$f'' (- 2.33606797) = - 29.94134699$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 29.94134699$ です。

$- 29.94134699$

ステップ 5.3

$- 2.33606797$ で二次導関数は $- 29.94134699$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \sqrt{5})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \sqrt{5})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- \sqrt{5}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.11803398$ で置換えます。

$f'' (- 1.11803398) = - 12 {(- 1.11803398)}^{4} + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.11803398$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 12$ に $1.5625$ をかけます。

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 1.11803398$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

ステップ 6.2.1.4

$60$ に $1.25$ をかけます。

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 75$

ステップ 6.2.2

$- 18.75$ と $75$ をたし算します。

$f'' (- 1.11803398) = 56.25$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $56.25$ です。

$56.25$

ステップ 6.3

$- 1.11803398$ で二次導関数は $56.25$ です。これは正の値なので、 $(- \sqrt{5}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \sqrt{5}, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \sqrt{5})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.11803398$ で置換えます。

$f'' (1.11803398) = - 12 {(1.11803398)}^{4} + 60 {(1.11803398)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.11803398$ を $4$ 乗します。

$f'' (1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $1.5625$ をかけます。

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

$1.11803398$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

ステップ 7.2.1.4

$60$ に $1.25$ をかけます。

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 75$

ステップ 7.2.2

$- 18.75$ と $75$ をたし算します。

$f'' (1.11803398) = 56.25$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $56.25$ です。

$56.25$

ステップ 7.3

$1.11803398$ で二次導関数は $56.25$ です。これは正の値なので、 $(0, \sqrt{5})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \sqrt{5})$ で増加

ステップ 8

区間 $(\sqrt{5}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.33606797$ で置換えます。

$f'' (2.33606797) = - 12 {(2.33606797)}^{4} + 60 {(2.33606797)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2.33606797$ を $4$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$- 12$ に $29.78118022$ をかけます。

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$2.33606797$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

ステップ 8.2.1.4

$60$ に $5.45721359$ をかけます。

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

ステップ 8.2.2

$- 357.37416272$ と $327.43281572$ をたし算します。

$f'' (2.33606797) = - 29.94134699$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 29.94134699$ です。

$- 29.94134699$

ステップ 8.3

$2.33606797$ で二次導関数は $- 29.94134699$ です。これは負の値なので、 $(\sqrt{5}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\sqrt{5}, \infty)$ で減少

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$ です。

$(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例