微分積分例

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 3.2

$2$ を $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ の左に移動させます。

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = \arctan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = \arctan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\arctan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

ステップ 6.1.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

ステップ 6.1.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 7

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 8.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 9

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 9.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\arctan (u_{1})$ で置き換えます。

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

ステップ 9.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$

微分積分 例

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