微分積分例

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 1

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ を関数で書きます。

$f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \cos^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 4

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int \cos^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

ステップ 5.3

$2$ を $\cos^{2} (u_{1})$ の左に移動させます。

$\int 2 \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

半角公式を利用して $\cos^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$2 \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$1 \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 9.3

$\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 12

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 12.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 12.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 12.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 13

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 15

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

ステップ 16

簡約します。

$u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

ステップ 17.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

ステップ 17.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

ステップ 18

$2$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

ステップ 19

簡約します。

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ステップ 19.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

ステップ 19.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

ステップ 19.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

ステップ 20

答えは関数 $f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

微分積分 例

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