微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{4 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $7$ を ${(2 - 3 x)}^{7}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $128$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 \cdot 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$2$ を $7$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

$- 1$ に $128$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 128}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$128$ から $128$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 ${(2 - 3 x)}^{7} - 128$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = 2 - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 - 3 x$ とします。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 - 3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

総和則では、 $2 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.6

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.7

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.8

$- 3$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$- 128$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 128$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{1}$

ステップ 2.4

$- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - 21 {(2 - 3 x)}^{6}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$- 21$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{6}$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $6$ を ${(2 - 3 x)}^{6}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{6}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

ステップ 3.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{6}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{4}$ と $- 21$ をまとめます。

$\frac{- 21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

ステップ 5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

ステップ 5.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{21}{4} {(2 + 0)}^{6}$

ステップ 5.4

$2$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{21}{4} \cdot 2^{6}$

ステップ 5.5

$2$ を $6$ 乗します。

$- \frac{21}{4} \cdot 64$

ステップ 5.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$- \frac{21}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 21}{4} \cdot 64$

ステップ 5.6.2

$4$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 (16))$

ステップ 5.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 \cdot 16)$

ステップ 5.6.4

式を書き換えます。

$- 21 \cdot 16$

ステップ 5.7

$- 21$ に $16$ をかけます。

$- 336$

微分積分 例

微分積分例