微分積分例

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

ステップ 1

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 4

$u = e^{x} + 1$ とします。次に $d u = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = e^{x} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$e^{x} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} + 0$

ステップ 4.1.4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $e^{x} + 1$ で置き換えます。

$\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

ステップ 7

答えは関数 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

微分積分 例