微分積分例

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{6}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{6} x^{6}$ の微分係数は $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.3

$6$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{6}{6}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.5

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{4}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

ステップ 1.1.4.3

$4$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x^{3}$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

ステップ 1.2.3.3

$3$ に $- 20$ をかけます。

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ です。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5 x^{2}$ を $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$5 x^{2}$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$5 x^{2}$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) - 60 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.3

$5 x^{2}$ を $- 60 x^{2}$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$5 x^{2}$ を $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$5 x^{2}$ を $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12)$ で因数分解します。

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $4$ です。

$- 2, 6$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 2.7

最終解は $5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 6$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\frac{1}{6}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 5 {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 5 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.5

$- 5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$2$ を $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$2$ を $6$ 乗します。

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$2$ を $64$ で因数分解します。

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $32$ をまとめます。

$f (2) = \frac{32}{3} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$2$ を $5$ 乗します。

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 \cdot 16$

ステップ 3.3.2.1.6

$- 5$ に $16$ をかけます。

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 80$

ステップ 3.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$32$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 80$

ステップ 3.3.2.2.2

$\frac{32}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 80$

ステップ 3.3.2.2.3

$\frac{32}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 80$

ステップ 3.3.2.2.4

$- 80$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1}$

ステップ 3.3.2.2.5

$\frac{- 80}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.2.2.6

$\frac{- 80}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (2) = \frac{32 + 32 \cdot 3 - 80 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.4.1

$32$ に $3$ をかけます。

$f (2) = \frac{32 + 96 - 80 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.2.4.2

$- 80$ に $3$ をかけます。

$f (2) = \frac{32 + 96 - 240}{3}$

ステップ 3.3.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

$32$ と $96$ をたし算します。

$f (2) = \frac{128 - 240}{3}$

ステップ 3.3.2.5.2

$128$ から $240$ を引きます。

$f (2) = \frac{- 112}{3}$

ステップ 3.3.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (2) = - \frac{112}{3}$

ステップ 3.3.2.6

最終的な答えは $- \frac{112}{3}$ です。

$- \frac{112}{3}$

ステップ 3.4

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ で代入して $2$ 求めた点は、 $(2, - \frac{112}{3})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2, - \frac{112}{3})$

ステップ 3.5

$- 6$ を $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

$- 6$ を $6$ 乗します。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot 46656 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$6$ を $46656$ で因数分解します。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 (7776)) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 6) = 7776 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.3

$- 6$ を $5$ 乗します。

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 {(- 6)}^{4}$

ステップ 3.5.2.1.4

$- 6$ を $4$ 乗します。

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 \cdot 1296$

ステップ 3.5.2.1.5

$- 5$ に $1296$ をかけます。

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 6480$

ステップ 3.5.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$7776$ から $7776$ を引きます。

$f (- 6) = 0 - 6480$

ステップ 3.5.2.2.2

$0$ から $6480$ を引きます。

$f (- 6) = - 6480$

ステップ 3.5.2.3

最終的な答えは $- 6480$ です。

$- 6480$

ステップ 3.6

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ で代入して $- 6$ 求めた点は、 $(- 6, - 6480)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 6, - 6480)$

ステップ 3.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (2, - \frac{112}{3}), (- 6, - 6480)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 6)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 6.1$ で置換えます。

$f'' (- 6.1) = 5 {(- 6.1)}^{4} + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 6.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 5 \cdot 1384.5841 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$5$ に $1384.5841$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 6.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 \cdot - 226.981 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.4

$20$ に $- 226.981$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

ステップ 5.2.1.5

$- 6.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 \cdot 37.21$

ステップ 5.2.1.6

$- 60$ に $37.21$ をかけます。

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 2232.6$

ステップ 5.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$6922.9205$ から $4539.62$ を引きます。

$f'' (- 6.1) = 2383.3005 - 2232.6$

ステップ 5.2.2.2

$2383.3005$ から $2232.6$ を引きます。

$f'' (- 6.1) = 150.7005$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $150.7005$ です。

$150.7005$

ステップ 5.3

$- 6.1$ で二次導関数は $150.7005$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 6)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 6)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 6, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 3) = 5 \cdot 81 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$5$ に $81$ をかけます。

$f'' (- 3) = 405 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3) = 405 + 20 \cdot - 27 - 60 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$20$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 {(- 3)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 \cdot 9$

ステップ 6.2.1.6

$- 60$ に $9$ をかけます。

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 540$

ステップ 6.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$405$ から $540$ を引きます。

$f'' (- 3) = - 135 - 540$

ステップ 6.2.2.2

$- 135$ から $540$ を引きます。

$f'' (- 3) = - 675$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 675$ です。

$- 675$

ステップ 6.3

$- 3$ で二次導関数は $- 675$ です。これは負の値なので、 $(- 6, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 6, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = 5 {(1)}^{4} + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = 5 \cdot 1 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$5$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 5 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = 5 + 20 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.4

$20$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.6

$- 60$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = 5 + 20 - 60$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$5$ と $20$ をたし算します。

$f'' (1) = 25 - 60$

ステップ 7.2.2.2

$25$ から $60$ を引きます。

$f'' (1) = - 35$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 35$ です。

$- 35$

ステップ 7.3

$1$ で二次導関数は $- 35$ です。これは負の値なので、 $(0, 2)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 8

区間 $(2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2.1$ で置換えます。

$f'' (2.1) = 5 {(2.1)}^{4} + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$2.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.2

$5$ に $19.4481$ をかけます。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.3

$2.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 \cdot 9.261 - 60 {(2.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.4

$20$ に $9.261$ をかけます。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 {(2.1)}^{2}$

ステップ 8.2.1.5

$2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 \cdot 4.41$

ステップ 8.2.1.6

$- 60$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 264.6$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$97.2405$ と $185.22$ をたし算します。

$f'' (2.1) = 282.4605 - 264.6$

ステップ 8.2.2.2

$282.4605$ から $264.6$ を引きます。

$f'' (2.1) = 17.8605$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $17.8605$ です。

$17.8605$

ステップ 8.3

$2.1$ で二次導関数は $17.8605$ です。これは正の値なので、 $(2, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$ です。

$(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例