微分積分例

$x^{2} e^{- x}$

ステップ 1

$x^{2} e^{- x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

ステップ 4

$u = x^{2}$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

ステップ 5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

ステップ 6

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

ステップ 7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

ステップ 8

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

ステップ 10.2

$\int e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

ステップ 11

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 11.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 11.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

ステップ 12

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

ステップ 13

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

ステップ 14

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ を $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ に書き換えます。

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

微分積分 例

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