微分積分例

$f (x) = x^{3} + a x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + a x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [a x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + a \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3

$a$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + a$ です。

$3 x^{2} + a$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + a = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + a = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $a$ を引きます。

$3 x^{2} = - a$

ステップ 2.3

$3 x^{2} = - a$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3 x^{2} = - a$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

ステップ 2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

ステップ 2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} + a x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt{- \frac{a}{3}}$ を $x$ に代入します。

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ を $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.2

積の法則を $- \frac{a}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.4

積の法則を $\frac{a}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.5

$3$ を $3$ 乗します。

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.6

$- \frac{a^{3}}{27}$ を ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

$a^{3}$ から完全累乗 $a^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$27$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.6.3

分数 $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ を並べ替えます。

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.6.4

$- 1$ と ${(\frac{a}{3})}^{2}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.6.5

括弧を付けます。

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.1.8

$\frac{a}{3}$ と $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ をまとめます。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.1.2.2

$a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.1.2.3

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.3.1

$a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$3$ を $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ の左に移動させます。

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

ステップ 4.1.2.4.2

$a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ と $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ をたし算します。

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

ステップ 4.2

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ を $x$ に代入します。

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

積の法則を $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.3

${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ を $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ に書き換えます。

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.4

積の法則を $- \frac{a}{3}$ に当てはめます。

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.6

積の法則を $\frac{a}{3}$ に当てはめます。

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.7

$3$ を $3$ 乗します。

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.8

$- \frac{a^{3}}{27}$ を ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.2.8.1

$a^{3}$ から完全累乗 $a^{2}$ を因数分解します。

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.8.2

$27$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.8.3

分数 $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ を並べ替えます。

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.8.4

$- 1$ と ${(\frac{a}{3})}^{2}$ を並べ替えます。

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.8.5

括弧を付けます。

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.9

累乗根の下から項を取り出します。

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.10

$\frac{a}{3}$ と $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ をまとめます。

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 4.2.2.11

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

ステップ 5

微分積分 例

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