微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

$3^{x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(3^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

ステップ 3.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

ステップ 3.2.2

$3^{- x}$ に $1$ をかけます。

$\int 3^{- x} d x$

ステップ 4

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - 3^{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int 3^{u} d u$

ステップ 6

$3^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ です。

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

ステップ 7

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ を $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

微分積分 例

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