微分積分例

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

ステップ 1

$y'$ を求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

ステップ 1.2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 1.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- 2 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 1.3.3

微分します。

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ステップ 1.3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 1.3.3.4

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6 e^{- 2 x}$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

ステップ 2

与えられた微分方程式に代入します。

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

ステップ 3.2

$- 6 e^{- 2 x}$ と $6 e^{- 2 x}$ をたし算します。

$0 = 0$

ステップ 4

与えられた解は与えられた微分方程式を満たします。

$y = 3 e^{- 2 x}$ は $y' + 2 y = 0$ の解です

微分積分 例

微分積分例