微分積分例

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$\frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (2 x + 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (2 x + 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (2 x + 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

$(2 x + 3) x^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\int 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.5

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7.7

$2 x^{\frac{1}{2}}$ と $3 x^{- \frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 13.2.2

$2$ と $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

ステップ 13.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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