微分積分例

$f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

ステップ 1.5.2

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 + 0$

ステップ 2.4.2

$- 12 x^{2} + 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $- x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x - 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x^{3} + 4 x - 1$ です。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x^{3} + 4 x - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 1.10715987, 0.26959443, 0.83756543$

ステップ 8

$x = - 1.10715987$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(- 1.10715987)}^{2} + 4$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 1.10715987$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 1.22580298 + 4$

ステップ 9.1.2

$- 12$ に $1.22580298$ をかけます。

$- 14.70963577 + 4$

ステップ 9.2

$- 14.70963577$ と $4$ をたし算します。

$- 10.70963577$

ステップ 10

$x = - 1.10715987$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1.10715987$ は極大値です

ステップ 11

$x = - 1.10715987$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $- 1.10715987$ で置換えます。

$f (- 1.10715987) = - {(- 1.10715987)}^{4} + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$- 1.10715987$ を $4$ 乗します。

$f (- 1.10715987) = - 1 \cdot 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ に $1.50259294$ をかけます。

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 {(- 1.10715987)}^{2} - (- 1.10715987) - 2$

ステップ 11.2.1.3

$- 1.10715987$ を $2$ 乗します。

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2 \cdot 1.22580298 - (- 1.10715987) - 2$

ステップ 11.2.1.4

$2$ に $1.22580298$ をかけます。

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 - (- 1.10715987) - 2$

ステップ 11.2.1.5

$- 1$ に $- 1.10715987$ をかけます。

$f (- 1.10715987) = - 1.50259294 + 2.45160596 + 1.10715987 - 2$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$- 1.50259294$ と $2.45160596$ をたし算します。

$f (- 1.10715987) = 0.94901301 + 1.10715987 - 2$

ステップ 11.2.2.2

$0.94901301$ と $1.10715987$ をたし算します。

$f (- 1.10715987) = 2.05617288 - 2$

ステップ 11.2.2.3

$2.05617288$ から $2$ を引きます。

$f (- 1.10715987) = 0.05617288$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0.05617288$ です。

$y = 0.05617288$

ステップ 12

$x = 0.26959443$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(0.26959443)}^{2} + 4$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$0.26959443$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 0.07268115 + 4$

ステップ 13.1.2

$- 12$ に $0.07268115$ をかけます。

$- 0.87217391 + 4$

ステップ 13.2

$- 0.87217391$ と $4$ をたし算します。

$3.12782608$

ステップ 14

$x = 0.26959443$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0.26959443$ は極小値です

ステップ 15

$x = 0.26959443$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $0.26959443$ で置換えます。

$f (0.26959443) = - {(0.26959443)}^{4} + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$0.26959443$ を $4$ 乗します。

$f (0.26959443) = - 1 \cdot 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

ステップ 15.2.1.2

$- 1$ に $0.00528255$ をかけます。

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 {(0.26959443)}^{2} - (0.26959443) - 2$

ステップ 15.2.1.3

$0.26959443$ を $2$ 乗します。

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 2 \cdot 0.07268115 - (0.26959443) - 2$

ステップ 15.2.1.4

$2$ に $0.07268115$ をかけます。

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - (0.26959443) - 2$

ステップ 15.2.1.5

$- 1$ に $0.26959443$ をかけます。

$f (0.26959443) = - 0.00528255 + 0.14536231 - 0.26959443 - 2$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 0.00528255$ と $0.14536231$ をたし算します。

$f (0.26959443) = 0.14007976 - 0.26959443 - 2$

ステップ 15.2.2.2

$0.14007976$ から $0.26959443$ を引きます。

$f (0.26959443) = - 0.12951466 - 2$

ステップ 15.2.2.3

$- 0.12951466$ から $2$ を引きます。

$f (0.26959443) = - 2.12951466$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 2.12951466$ です。

$y = - 2.12951466$

ステップ 16

$x = 0.83756543$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(0.83756543)}^{2} + 4$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$0.83756543$ を $2$ 乗します。

$- 12 \cdot 0.70151585 + 4$

ステップ 17.1.2

$- 12$ に $0.70151585$ をかけます。

$- 8.4181903 + 4$

ステップ 17.2

$- 8.4181903$ と $4$ をたし算します。

$- 4.4181903$

ステップ 18

$x = 0.83756543$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0.83756543$ は極大値です

ステップ 19

$x = 0.83756543$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $0.83756543$ で置換えます。

$f (0.83756543) = - {(0.83756543)}^{4} + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$0.83756543$ を $4$ 乗します。

$f (0.83756543) = - 1 \cdot 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

ステップ 19.2.1.2

$- 1$ に $0.49212449$ をかけます。

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 {(0.83756543)}^{2} - (0.83756543) - 2$

ステップ 19.2.1.3

$0.83756543$ を $2$ 乗します。

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 2 \cdot 0.70151585 - (0.83756543) - 2$

ステップ 19.2.1.4

$2$ に $0.70151585$ をかけます。

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - (0.83756543) - 2$

ステップ 19.2.1.5

$- 1$ に $0.83756543$ をかけます。

$f (0.83756543) = - 0.49212449 + 1.40303171 - 0.83756543 - 2$

ステップ 19.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$- 0.49212449$ と $1.40303171$ をたし算します。

$f (0.83756543) = 0.91090721 - 0.83756543 - 2$

ステップ 19.2.2.2

$0.91090721$ から $0.83756543$ を引きます。

$f (0.83756543) = 0.07334178 - 2$

ステップ 19.2.2.3

$0.07334178$ から $2$ を引きます。

$f (0.83756543) = - 1.92665821$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 1.92665821$ です。

$y = - 1.92665821$

ステップ 20

$f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - x - 2$ の極値です。

$(- 1.10715987, 0.05617288)$ は極大値です

$(0.26959443, - 2.12951466)$ は極小値です

$(0.83756543, - 1.92665821)$ は極大値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例