微分積分例

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 1

$f (y) = \ln (y)$ および $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

ステップ 2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

ステップ 2.4

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

ステップ 2.6

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

ステップ 2.7

$2$ と $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

ステップ 2.9

分数をまとめます。

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ステップ 2.9.1

$2$ と $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

ステップ 2.9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

ステップ 2.9.3

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

ステップ 2.9.4

項を並べ替えます。

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例