微分積分例

$\int 5 x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

ステップ 2

$u = 2 x^{3} - 6$ とします。次に $d u = 6 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 2 x^{3} - 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 x^{3} - 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 6]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $2 x^{3} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 0$

ステップ 2.1.4.2

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$5 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

ステップ 3

$\sec^{2} (u)$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$5 \int \frac{\sec^{2} (u)}{6} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{6} \int \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{6}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{6} \int \sec^{2} (u) d u$

ステップ 6

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$\frac{5}{6} (\tan (u) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{5}{6} \tan (u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $2 x^{3} - 6$ で置き換えます。

$\frac{5}{6} \tan (2 x^{3} - 6) + C$

微分積分 例

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