微分積分例

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

ステップ 3

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

ステップ 5

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 6.2

$\csc^{2} (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

ステップ 8

$- \cot (u)$ の微分係数が $\csc^{2} (u)$ なので、 $\csc^{2} (u)$ の積分は $- \cot (u)$ です。

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

ステップ 9.2

$\frac{1}{3}$ と $\cot (u)$ をまとめます。

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$

微分積分 例

微分積分例