微分積分例

$x + \sqrt{x + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + \sqrt{x + 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

ステップ 1.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

ステップ 1.2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

ステップ 1.2.8

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

ステップ 1.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

ステップ 1.2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

ステップ 1.2.10

分数の前に負数を移動させます。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

ステップ 1.2.11

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.2.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

ステップ 1.2.13

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 1$ とします。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 2.2.4.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 2.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

ステップ 2.2.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 2.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.8

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.8.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.11

公分母の分子をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

ステップ 2.2.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

ステップ 2.2.15

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

ステップ 2.2.16

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2.18

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(x + 1)}^{- 1}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

ステップ 2.2.20

指数を足して ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $x + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.20.1

$x + 1$ を移動させます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

ステップ 2.2.20.2

$x + 1$ に ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.20.2.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

ステップ 2.2.20.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2.20.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

ステップ 2.2.20.4

公分母の分子をまとめます。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

ステップ 2.2.20.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.2.21

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.2.22

$2$ に $2$ をかけます。

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.3

$0$ から $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- \frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ です。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ を ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 3.1.2.2

${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 3.1.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

ステップ 3.1.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

ステップ 3.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.2.2

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.6.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.7.2

${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.7.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.3.1

$3$ を ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.7.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{4}) (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.7.3.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 3.7.4

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.7.5

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

ステップ 3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

ステップ 3.11.2

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{3}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ の微分係数は $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ です。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ を ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

ステップ 4.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$\frac{3}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.2.2

$n = - \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.6.2

$- 5$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.7.2

${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{8} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.7.3

式を簡約します。

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ステップ 4.7.3.1

$5$ を ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 4.7.4

$\frac{3}{8}$ に $\frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.7.5

掛け算します。

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ステップ 4.7.5.1

$3$ に $5$ をかけます。

$- \frac{15}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.7.5.2

$2$ に $8$ をかけます。

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + 0)$

ステップ 4.11

式を簡約します。

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ステップ 4.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

ステップ 4.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例