微分積分例

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

ステップ 1

$u_{3} = \sin (e^{2 x})$ とします。次に $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{3} = \sin (e^{2 x})$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (e^{2 x})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{2 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{2 x}$ で置き換えます。

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 1.1.4.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 1.1.4.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 1.1.4.3.3

$\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

ステップ 1.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 2

${u_{3}}^{4}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

ステップ 4

べき乗則では、 ${u_{3}}^{4}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

ステップ 5.2.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

ステップ 6

$u_{3}$ のすべての発生を $\sin (e^{2 x})$ で置き換えます。

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$

微分積分 例

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