微分積分例

$f (x) = \cos^{2} (x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \cos^{2} (x) d x$

ステップ 3

半角公式を利用して $\cos^{2} (x)$ を $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

ステップ 8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 13.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

ステップ 13.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ を掛けます。

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ステップ 13.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 x)}{2}$ をかけます。

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 13.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \cos^{2} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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