微分積分例

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.2.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.3.4

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$2 x y y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.3

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.1

$y^{2}$ を移動させます。

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.3.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.4

$y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.6

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.6.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.1.6.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

ステップ 5.2

$y'$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

方程式の両辺から $y^{4}$ を引きます。

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

ステップ 5.2.1.2

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

ステップ 5.2.2

$x y'$ を $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$x y'$ を $2 y^{3} x y'$ で因数分解します。

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

ステップ 5.2.2.2

$x y'$ を $- x^{2} y'$ で因数分解します。

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

ステップ 5.2.2.3

$x y'$ を $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ で因数分解します。

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

ステップ 5.2.3

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ の各項を $x (2 y^{3} - x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ の各項を $x (2 y^{3} - x)$ で割ります。

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.2.2

$2 y^{3} - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

ステップ 5.2.3.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

ステップ 5.2.3.3.2

$- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

ステップ 5.2.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (2 y^{3} - x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.3.1

$\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

ステップ 5.2.3.3.3.2

$(2 y^{3} - x) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.5

$y$ を $- y^{4} - 2 y x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.5.1

$y$ を $- y^{4}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.5.2

$y$ を $- 2 y x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.5.3

$y$ を $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.6

$- 1$ を $- y^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.7

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.8

$- 1$ を $- (y^{3}) - (2 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.3.9.1

$- (y^{3} + 2 x)$ を $- 1 (y^{3} + 2 x)$ に書き換えます。

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 5.2.3.3.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

微分積分 例

微分積分例