微分積分例

$3^{x} + 2021$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $3^{x} + 2021$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ です。

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

ステップ 1.2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$2021$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2021$ の微分係数は $0$ です。

$3^{x} \ln (3) + 0$

ステップ 1.3.2

$3^{x} \ln (3)$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$\ln (3)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3^{x} \ln (3)$ の微分係数は $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ です。

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 2.2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

ステップ 2.3

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

ステップ 2.4

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln^{2} (3)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3^{x} \ln^{2} (3)$ の微分係数は $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ です。

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 3.2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

ステップ 3.3

指数を足して $\ln^{2} (3)$ に $\ln (3)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$\ln (3)$ を移動させます。

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

ステップ 3.3.2

$\ln (3)$ に $\ln^{2} (3)$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.1

$\ln (3)$ を $1$ 乗します。

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

ステップ 3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

ステップ 3.4

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$

微分積分 例

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