微分積分例

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 4 x^{2} - 16$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $4 x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

式を簡約します。

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ステップ 3.2.6.1

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.6.2

$8$ を $x - 2$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

式を簡約します。

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ステップ 3.2.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$8$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$8 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

$4$ を $4 x^{2} - 16 x + 16$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.5.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.2

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.3

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.4

$4$ を $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.5

$4$ を $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 3.3.5.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.6.2

$4$ を $1$ で割ります。

$4$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4$

微分積分 例

微分積分例