微分積分例

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

ステップ 1

$u = 2 x^{5} - 7$ とします。次に $d u = 10 x^{4} d x$ すると、 $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x^{5} - 7$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x^{5} - 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x^{5} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{5}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $2$ をかけます。

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$10 x^{4} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$10 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$10 x^{4}$

ステップ 1.2

$u = 2 x^{5} - 7$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 - 7$

ステップ 1.3.2

$0$ から $7$ を引きます。

$u_{lower} = - 7$

ステップ 1.4

$u = 2 x^{5} - 7$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

ステップ 1.5.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2 - 7$

ステップ 1.5.2

$2$ から $7$ を引きます。

$u_{upper} = - 5$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

ステップ 2

$e^{u}$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{10}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{10}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

ステップ 5

$- 5$ および $- 7$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{10} e^{- 5} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{10}$ と $e^{- 5}$ をまとめます。

$\frac{e^{- 5}}{10} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

ステップ 6.3

$\frac{1}{10}$ と $e^{- 7}$ をまとめます。

$\frac{e^{- 5}}{10} - \frac{e^{- 7}}{10}$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 5}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{e^{- 7}}{10}$

ステップ 6.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 7}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

10進法形式：

$0.00058260 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例