微分積分例

lim x \to 0 \frac{3 x + 2 x^{- 1}}{x + 4 x^{- 1}}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{- 1}}{x + 4 x^{- 1}}$

ステップ 1

項を簡約します。

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ステップ 1.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.1.1

負の指数を分数に変換します。

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ステップ 1.1.1.1

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

lim x \to 0 \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 x^{- 1}}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 x^{- 1}}$

ステップ 1.1.1.2

負の指数法則

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

lim x \to 0 \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

lim x \to 0 \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

ステップ 1.1.2

因数をまとめます。

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ステップ 1.1.2.1

2

$2$ と

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ をまとめます。

lim x \to 0 \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

ステップ 1.1.2.2

4

$4$ と

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ をまとめます。

lim x \to 0 \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

lim x \to 0 \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

ステップ 1.1.3

項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.1

3 x

$3 x$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ を掛けます。

lim x \to 0 \frac{\frac{3 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

ステップ 1.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

lim x \to 0 \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{x + \frac{4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

ステップ 1.1.3.3

x

$x$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ を掛けます。

lim x \to 0 \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{4}{x}}$

ステップ 1.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

lim x \to 0 \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

lim x \to 0 \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

lim x \to 0 \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

ステップ 1.2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

lim x \to 0 \frac{3 x \cdot x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

ステップ 1.2.2

因数をまとめます。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を

$1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を

$1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x^{1}) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

ステップ 1.2.2.3

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{1 + 1} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

ステップ 1.2.2.4

$1$ と

$1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

ステップ 1.2.2.5

$x$ を

$1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x + 4}$

ステップ 1.2.2.6

$x$ を

$1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} + 4}$

ステップ 1.2.2.7

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} + 4}$

ステップ 1.2.2.8

$1$ と

$1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.2.9

$\frac{3 x^{2} + 2}{x}$ に

$\frac{x}{x^{2} + 4}$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

ステップ 1.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + 4}$

ステップ 2

$x$ が

$0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

ステップ 3

$x$ が

$0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

ステップ 4

$3$ の項は

$x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数

$2$ を

$x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

ステップ 6

$x$ が

$0$ に近づくと定数である

$2$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

ステップ 7

$x$ が

$0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数

$2$ を

$x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

ステップ 9

$x$ が

$0$ に近づくと定数である

$4$ の極限値を求めます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

ステップ 10

すべての

$x$ に

$0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$x$ を

$0$ に代入し、

$x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

ステップ 10.2

$x$ を

$0$ に代入し、

$x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{0^{2} + 4}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0^{2} + 4}$

ステップ 11.1.2

$3$ に

$0$ をかけます。

$\frac{0 + 2}{0^{2} + 4}$

ステップ 11.1.3

$0$ と

$2$ をたし算します。

$\frac{2}{0^{2} + 4}$

ステップ 11.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$\frac{2}{0 + 4}$

ステップ 11.2.2

$0$ と

$4$ をたし算します。

$\frac{2}{4}$

ステップ 11.3

$2$ と

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

$2$ を

$2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{4}$

ステップ 11.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.2.1

$2$ を

$4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例