微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 \sqrt{y + 1} \cos (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (2 \sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ に $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}) (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ に $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{y + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{y + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.6

${\sqrt{y + 1}}^{2}$ を $y + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y + 1}$ を ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.3.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.4

$2$ と $\frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

ステップ 1.2.5

$\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$\sqrt{y + 1}$ と $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y + 1} (2 \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

ステップ 1.2.5.2

$\sqrt{y + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

ステップ 1.2.5.3

$\sqrt{y + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1})}{y + 1} \cos (x)$

ステップ 1.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}{y + 1} \cos (x)$

ステップ 1.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1} \cos (x)$

ステップ 1.2.5.6

$\frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.6

${\sqrt{y + 1}}^{2}$ を $y + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y + 1}$ を ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{1} \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.7

$y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

ステップ 1.2.7.2

$2 \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = 2 \cos (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3.2

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\sin (x) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \sin (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.2

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

共通因数を約分します。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \sin (x) + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 1)}^{1} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y + 1 = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ を $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ に書き換えます。

$y + 1 = (\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y + 1 = \sin (x) (\sin (x) + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + 1 = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2

$\sin (x)$ と $\frac{K}{2}$ をまとめます。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.3

$\frac{K}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4

$\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.2

$K$ を $1$ 乗します。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.3

$K$ を $1$ 乗します。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$\frac{\sin (x) K}{2}$ と $\frac{K \sin (x)}{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.1

$\sin (x)$ と $K$ を並べ替えます。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2

$\frac{K \sin (x)}{2}$ と $\frac{K \sin (x)}{2}$ をたし算します。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$y + 1 = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4} - 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + K$

微分積分 例

微分積分例