微分積分例

$f (x) = 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \sqrt[3]{x} d x$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{1}{3}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 10.1.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

$\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$\frac{4}{3} x^{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = 4 x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例