微分積分例

$\int (x^{3} - 3 x + e^{3 x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int x^{3} - 3 x + e^{3 x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{3} d x + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 3 x d x + \int e^{3 x} d x$

ステップ 4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 \int x d x + \int e^{3 x} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{3 x} d x$

ステップ 6

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 6.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{u} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

微分積分 例

微分積分例