微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

ステップ 1

項を簡約します。

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ステップ 1.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.1.1

負の指数を分数に変換します。

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ステップ 1.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

ステップ 1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

ステップ 1.1.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.1

$x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

ステップ 1.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

ステップ 1.1.2.3

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

ステップ 1.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

ステップ 1.2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 1.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

ステップ 1.2.2

因数をまとめます。

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ステップ 1.2.2.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

ステップ 1.2.2.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

ステップ 1.2.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

ステップ 1.2.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

ステップ 1.2.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

ステップ 1.2.2.6

$\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ に $\frac{x}{x^{2} - 1}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

ステップ 1.2.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$x$ を $(x^{4} - 1) x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$x$ を $x^{2} (x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

ステップ 1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

ステップ 1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

ステップ 2.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

ステップ 2.1.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.3.6.1

$1^{2} - 1 \cdot 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.6.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.6.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 2.1.3.6.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{4} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

ステップ 2.3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

ステップ 2.3.5

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

ステップ 2.3.6

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.10

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.11

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.12

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

ステップ 2.3.16

$x^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

ステップ 2.3.17

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.2

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

ステップ 3.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

ステップ 3.7

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 4

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{1}{3 - 1}$

ステップ 5.2.4

$3$ から $1$ を引きます。

$4 (\frac{1}{2})$

ステップ 5.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (2) \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3

式を書き換えます。

$2$

微分積分 例

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