微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.5

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.1

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{\cos (0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.7.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.7.1.3

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.7.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.7.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.2.7.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\cos (6 x) - \cos (7 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3.5

$6$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (7 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $7 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.5

$7$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \cdot 7)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.6

$7$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- 7 \sin (7 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.4.7

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{2 x}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.2

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 lim_{x \to 0} \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.4

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.5

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.6

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.7

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.8

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.8.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.8.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.9.1.1

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.9.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \cdot 0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.9.1.3

$- 6$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.9.1.4

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.9.1.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.9.1.6

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.2.9.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 5.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 \sin (6 x)$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 x$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.3

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.5

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.6

$6$ を $\cos (6 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cdot 6 \cdot \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.3.7

$6$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4

$\frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 \sin (7 x)$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $7 x$ とします。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.5

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.6

$7$ を $\cos (7 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cdot 7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.4.7

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 5.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{1}$

ステップ 5.4

$- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 36 \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

ステップ 6.2

$36$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- 36 lim_{x \to 0} \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

ステップ 6.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

ステップ 6.4

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

ステップ 6.5

$49$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 lim_{x \to 0} \cos (7 x))$

ステップ 6.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (lim_{x \to 0} 7 x))$

ステップ 6.7

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

ステップ 7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

ステップ 7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

ステップ 8.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- 36 \cdot 1 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

ステップ 8.1.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

ステップ 8.1.4

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (0))$

ステップ 8.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cdot 1)$

ステップ 8.1.6

$49$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49)$

ステップ 8.2

$- 36$ と $49$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 13$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ と $13$ をまとめます。

$\frac{13}{2}$

微分積分 例

微分積分例