微分積分例

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.3

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.2.4.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

ステップ 1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 0}$

ステップ 1.3.8

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ が $- 1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.5

$x$ が $- 1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

ステップ 2.6

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $- 1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ を $- 1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

ステップ 4.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

ステップ 4.4

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{3}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{3}$

10進法形式：

$- 0.\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例