微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $25$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.2.3.2

$25$ から $25$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $5$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{5 - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.3.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.4

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.8

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + 0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 2.4

$2 x$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

ステップ 3.2

根号の下に極限を移動させます。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + 7}$

ステップ 3.3

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

ステップ 3.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

ステップ 3.5

$x$ が $5$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

ステップ 4

すべての $x$ に $5$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 5 + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

ステップ 4.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot 5 + \sqrt{5^{2} + 7}$

ステップ 5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ に $5$ をかけます。

$10 + \sqrt{5^{2} + 7}$

ステップ 5.2

$5$ を $2$ 乗します。

$10 + \sqrt{25 + 7}$

ステップ 5.3

$25$ と $7$ をたし算します。

$10 + \sqrt{32}$

ステップ 5.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$10 + \sqrt{16 (2)}$

ステップ 5.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$10 + \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.5

累乗根の下から項を取り出します。

$10 + 4 \sqrt{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$10 + 4 \sqrt{2}$

10進法形式：

$15.65685424 \dots$

微分積分 例

微分積分例