微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $15$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - \sqrt{1 + 15}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$1$ と $15$ をたし算します。

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - 1^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{4 - \sqrt{x + 15}}{1 - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $4 - \sqrt{x + 15}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 15}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 15}$ を ${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 15)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 15$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 15$ とします。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 15$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 15])}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.4

総和則では、 $x + 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [15]))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.6

$15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $15$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.4.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.12

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x + 15)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.13

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.14

$\frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{{(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.4.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$0$ から $\frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - (2 x)}$

ステップ 1.3.8.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - 2 x}$

ステップ 1.3.9

$0$ から $2 x$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 {(x + 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

ステップ 1.5

${(x + 15)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x + 15}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 15}} \cdot \frac{1}{- 2 x}$

ステップ 1.6

因数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$\frac{1}{- 2 x}$ に $\frac{1}{2 \sqrt{x + 15}}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 x (2 \sqrt{x + 15})}$

ステップ 1.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 4 x \sqrt{x + 15}}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{- 4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{- 4} lim_{x \to 1} \frac{1}{x \sqrt{x + 15}}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

ステップ 2.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x + 15}}$

ステップ 2.5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x + 15}}$

ステップ 2.6

根号の下に極限を移動させます。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

ステップ 2.7

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 15}}$

ステップ 2.8

$x$ が $1$ に近づくと定数である $15$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x + 15}}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{- 4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{1}{4} \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

ステップ 4.2

$- - \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{4}) \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

ステップ 4.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + 15}}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 15}}$

ステップ 4.4

分母を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $15$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

ステップ 4.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 4.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 4.5

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 4.5.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{16}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{16}$

10進法形式：

$0.0625$

微分積分 例

微分積分例