微分積分例

$x y' = x^{2} \sin (x) + y$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) + y$

ステップ 2

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$

ステップ 2.2

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

ステップ 2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

ステップ 2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

ステップ 2.4

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

$x$ を $x^{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x}$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

ステップ 2.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (x)}{1}$

ステップ 2.4.2.5

$x \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (x)$

ステップ 2.5

$y$ を $\frac{- y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (x)$

ステップ 2.6

$y$ と $\frac{- 1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (x)$

ステップ 3

$P (x) = \frac{- 1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 3.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

ステップ 3.2

$\frac{- 1}{x}$ を積分します。

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ステップ 3.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 3.2.4

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 3.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 3.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 3.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.5

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.5.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.5.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $x \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (x)))$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (x)$

ステップ 5

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (x)$

ステップ 6

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (x) d x$

ステップ 7

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int \sin (x) d x$

ステップ 8

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$\frac{1}{x} y = - \cos (x) + C$

ステップ 9

$y$ について解きます。

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ステップ 9.1

左辺を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \cos (x) + C$

ステップ 9.2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

ステップ 9.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \cos (x) + C) x$

ステップ 9.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$(- \cos (x) + C) x$ を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \cos (x) x + C x$

ステップ 9.3.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1.2.1

$- \cos (x) x + C x$ の因数を並べ替えます。

$y = - x \cos (x) + C x$

ステップ 9.3.2.1.2.2

$- x \cos (x)$ と $C x$ を並べ替えます。

$y = C x - x \cos (x)$

微分積分 例

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