微分積分例

$f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 9 x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 4

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int x^{\frac{4}{5}} d x + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{4}{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ です。

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \int x d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$9 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 7

$\frac{5}{9}$ と $x^{\frac{9}{5}}$ をまとめます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 10.2

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 10.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 10.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 12.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 13

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \sqrt{x} d x$

ステップ 14

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 15

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$9 (\frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

ステップ 16.2

簡約します。

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = 9 x^{\frac{4}{5}} + x - \frac{2}{x^{3}} - \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $5 x^{\frac{9}{5}} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例