微分積分例

$f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2} d x$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\int 8 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 8 x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

ステップ 5

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int x^{4} d x + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{1}{2 x^{2}} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 8.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 8.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{8 x^{5}}{5} + \frac{1}{2} (- x^{- 1}) + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{- 1}$ をまとめます。

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{x^{- 1}}{2} + C$

ステップ 10.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 1}$ を分母に移動させます。

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{1}{2 x} + C$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = 8 x^{4} + \frac{x^{- 2}}{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{8}{5} x^{5} - \frac{1}{2 x} + C$

微分積分 例

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