微分積分例

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 2.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 2.1.1.2.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

ステップ 2.1.1.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x^{2}$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.1.2.3.3

$2$ に $- 24$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 48 x + 36$ です。

$12 x^{2} - 48 x + 36$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$12$ を $12 x^{2} - 48 x + 36$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$12$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$12$ を $- 48 x$ で因数分解します。

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$12$ を $36$ で因数分解します。

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$12$ を $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ で因数分解します。

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$12$ を $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ で因数分解します。

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

ステップ 2.2.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 2.2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.2.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.2.6

最終解は $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, 1$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 36$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 36$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 36$

ステップ 5.2.1.3

$- 48$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 36$

ステップ 5.2.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$f'' (0) = 36$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $36$ です。

$36$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(1, 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 36$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 36$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 36$

ステップ 6.2.1.3

$- 48$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 48 - 96 + 36$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$48$ から $96$ を引きます。

$f'' (2) = - 48 + 36$

ステップ 6.2.2.2

$- 48$ と $36$ をたし算します。

$f'' (2) = - 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(1, 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(1, 3)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 48 \cdot 6 + 36$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 48 \cdot 6 + 36$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $36$ をかけます。

$f'' (6) = 432 - 48 \cdot 6 + 36$

ステップ 7.2.1.3

$- 48$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = 432 - 288 + 36$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$432$ から $288$ を引きます。

$f'' (6) = 144 + 36$

ステップ 7.2.2.2

$144$ と $36$ をたし算します。

$f'' (6) = 180$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $180$ です。

$180$

ステップ 7.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(3, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(1, 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(3, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例