微分積分例

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

ステップ 1

総和則では、 $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (4 x) (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\cos (4 x) \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.5

$4$ を $\cos (4 x)$ の左に移動させます。

$4 \cos (4 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \cos (4 x) - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cos (4 x) - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 3.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$4 \cos (4 x) - 16 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [9 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 4.3

$9$ に $1$ をかけます。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 5

$π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + 0$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ と $0$ をたし算します。

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$- 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

微分積分 例

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